Чи стає твердження істинним від кількості людей, які його поділяють?

Уявіть кімнату. У ній сидять вісім людей. Їм показують лінію і просять уголос назвати, котра з трьох інших ліній такої самої довжини. Різниця між лініями сягає від трьох чвертей дюйма до одного й трьох чвертей дюйма. Її видно з першого погляду. Семеро з восьми, один за одним, дають ту саму відверто неправильну відповідь. Вони змовилися заздалегідь. Настає черга восьмого. Саме ця кімната, сконструйована Соломоном Ашем у 1951 році, виміряла те, що ми відчуваємо, але рідко можемо назвати числом: скільки коштує людині стояти на своєму, коли більшість каже інше.

Чи робить твердження істинним кількість людей, які його поділяють? Відповідь, яку дають вимірювання, є подвійною. Сама по собі чисельність становить статистику про людей. Статистикою про світ вона стає за двох умов, достатніх у межах теореми Кондорсе: коли кожен судить незалежно від інших і коли ймовірність правильної відповіді в кожного перевищує половину. Ці умови сформулював маркіз де Кондорсе, а Френсіс Гальтон побачив їхню дію на ярмарку в Плімуті.

Що стверджує поклик до більшості

Поклик до народу (argumentum ad populum, appeal to the people) Інтернет-енциклопедія філософії окреслює через таку настанову: «Якщо ви надто сильно наполягаєте, що чиєсь твердження або аргумент є правильним лише тому, що так вважає більшість людей, ваше міркування містить хибу поклику до народу.» Обернений бік цієї хиби енциклопедія подає другим реченням: «Так само, якщо ви надто сильно наполягаєте, що чиєсь твердження або аргумент є помилковим лише тому, що так вважає не більшість людей, ваше міркування також містить цю хибу.»

Ключовим тут є слово «необов’язково». Енциклопедія формулює: згода з популярною думкою не обов’язково є надійною ознакою істини, а відхилення від неї не обов’язково є надійною ознакою помилки.

Задовго до сучасної логіки Платон у п’ятій книзі «Держави» провів межу між знанням і гадкою. Знання, за Платоном, належить до безпомильного, а гадка належить до помильного. У перекладі Шорі гадка постає як щось «темніше за знання, але ясніше за невігластво».

Наскільки далеко може зайти розрив між чисельністю прибічників і фактом, показує одна історія, яку часто переповідають, але рідко перевіряють за джерелом. У 1931 році вийшла книжка «Сто авторів проти Ейнштейна». Насправді в ній зібрано тексти від двадцяти восьми авторів, а загалом у виданні названо 121 опонента спеціальної теорії відносності, як повідомляє Skeptical Inquirer у статті 2020 року. Знамениту відповідь, яку приписують Ейнштейнові, а саме «вистачило б і одного», не підтверджує жодне першоджерело. Стаття зазначає: «Через брак першоджерела незрозуміло, чи Ейнштейн робив таке твердження». Фраза приходить через «Гокінґа (1988), вторинне джерело». Хоч би хто її вимовив, думка, яку вона передає, не залежить від авторства: проти факту сто авторів важать не більше, ніж один.

Коли натовп знає

На щорічному показі худоби в Плімуті відвідувачі записували на квитках свої здогади про оброблену вагу живого вола. Після змагання квитки «люб’язно позичили мені для вивчення», писав Френсіс Гальтон. Він відсіяв тринадцять несправних карток, і залишилося 787 здогадів. За його опублікованими даними, серединна оцінка становила 1207 фунтів, а оброблений віл важив 1198 фунтів. Похибка дорівнює 0,8 відсотка. Серединна половина здогадів лягла в діапазоні від 1162 до 1236 фунтів.

Статистик Кеннет Волліс у 2014 році перевірив робочі таблиці Гальтона і виявив, що «результат було некоректно переписано». Медіана, тобто середнє за порядком значення, коли всі оцінки вишикувано від найменшої до найбільшої, становила 1208 фунтів. Справжня вага, за листом організатора, дорівнювала 1197 фунтам. Помилка медіани склала 11 фунтів, або 0,92 відсотка. Середнє арифметичне, тобто сума всіх оцінок, поділена на їхню кількість, Волліс знайшов у відповіді самого Гальтона читачеві: воно дорівнювало 1197 фунтам. Для середнього помилка виявилася нульовою.

На рис. 1 порівняно серединну половину здогадів, медіану, середнє та істинну вагу вола за скоригованими даними Волліса. Видно, що діапазон від 1162 до 1236 фунтів охоплює істинне значення 1197, медіана 1208 відхиляється від нього менш ніж на один відсоток, а середнє 1197 збігається з ним точно.

Гальтон описав здогади як «неупереджені пристрастю і не схилені красномовством». Ці слова описують першу з двох умов, які називає теорема з наступного абзацу: кожен відвідувач записував свій здогад, не бачачи здогадів інших. Саме така незалежність суджень дала натовпу змогу вгадати вагу вола майже без помилки.

Умови, за яких більшість стає доказом, сформулював маркіз де Кондорсе задовго до Гальтона. Його теорема журі спирається на два припущення. Перше: безумовна незалежність, тобто події, коли окремі судді дають правильну відповідь, не залежать одна від одної. Друге: компетентність кожного судді перевищує половину і є однаковою для всіх. За цих умов імовірність того, що більшість має рацію, зростає з розміром групи й прямує до одиниці.

Обчислення для конкретних чисел роблять цю логіку наочною. Якщо кожен суддя має 55-відсоткову ймовірність правильної відповіді, то для одного судді вона становить 55 %, для групи з 11 вона дорівнює 63,3 %, для 101 вона сягає 84,4 %, а для 1001 досягає 99,9 %. Якщо ж імовірність правильності кожного нижча за половину, наприклад 45 відсотків, збільшення групи працює в протилежний бік: 45 % для одного, 36,7 % для 11, 15,6 % для 101 і 0,1 % для 1001.

На рис. 2 порівняно ймовірність правильної більшості для груп різного розміру за двох рівнів компетентності: 55 % і 45 %. Коли компетентність вища за половину, більшість великої групи майже напевно має рацію. Коли компетентність нижча за половину, більшість великої групи майже напевно помиляється.

У Плімуті кожен відвідувач записував свій здогад на квитку. У кімнаті Аша кожен учасник чув відповіді інших, виголошені вголос.

Коли більшість тисне

У 1951 році Соломон Аш поставив експеримент, який виміряв ціну відмови від власного судження. Учасниками були студенти-чоловіки. Кожного садовили в групу з семи інших, яких інструктували заздалегідь давати однакову неправильну відповідь на дванадцяти з вісімнадцяти спроб. Завдання було простим: вибрати з трьох ліній ту, що збігається зі зразком.

Результат для п’ятдесяти основних учасників: 32 відсотки всіх оцінок, даних під тиском одноголосної більшості, поступилися більшості. Водночас 68 відсотків оцінок залишилися правильними. Контрольні групи, які записували оцінки наодинці в письмовій формі, показали «практичну відсутність помилок». Чверть учасників не піддалася в жодній критичній спробі. Натомість третина зміщувала оцінки в бік більшості в половині спроб або частіше.

У статті 1955 року в Scientific American Аш повідомив дані для 123 учасників. Наодинці помилки траплялися менш ніж у одному відсотку випадків. Під груповим тиском 36,8 відсотка суджень стали помилковими. Близько чверті учасників жодного разу не погодилися з неправильною більшістю. Розмір групи впливав на результат до певної межі: проти одного опонента відповіді залишалися незалежними майже в усіх спробах, проти двох помилки сягали 13,6 відсотка, проти трьох вони становили 31,8 відсотка. Далі тиск зростав мало.

На рис. 3 порівняно частку помилкових відповідей у різних умовах: наодинці в письмовій формі (менше 1 відсотка), проти двох опонентів (13,6 відсотка), проти трьох (31,8 відсотка), проти одноголосної більшості (36,8 відсотка), з одним союзником (5,5 відсотка), у повторі 2023 року (33 відсотки) та в повторі з платою за правильність (25 відсотків).

Цифра «75 відсотків», яка іноді зустрічається в переказах, потребує уточнення. Аш у статті 1955 року під діаграмою написав: «Сімдесят п’ять відсотків учасників експерименту погоджуються з більшістю різною мірою». Це частка тих, хто поступився бодай раз. Виміряна частка помилкових відповідей становить 36,8 відсотка. Третина у статті 1951 року позначає людей, які поступалися в половині спроб або частіше.

Найсильніше заперечення: учасники могли змінити публічну відповідь, щоб уникнути конфлікту, тоді як їхнє приватне судження могло залишитися тим самим. Аш вимірював публічні відповіді, тому дані не підтверджують цього припущення й не спростовують його. Один союзник знижує частку поступок до 5,5 відсотка, а плата за точність знижує помилки з 33 до 25 відсотків. Обидва показники є виміряними змінами публічних відповідей.

Повторення, проведене Франзеном і Мадером у 2023 році за участю 210 осіб, набраних у кампусі Бернського університету, дало 33 відсотки помилок у класичному завданні. Коли за правильні відповіді платили, помилки знизилися до 25 відсотків. Коли ж завдання стосувалося політичних тверджень замість ліній, рівень конформності сягнув 38 відсотків. Метааналіз Бонда і Сміта за 1996 рік, який охопив 44 точних повторення, дав середню частку помилок у 25 відсотків. Більшість цих повторень проводилися за участю студентів-чоловіків у США. Новіші дослідження в Японії та Боснії і Герцеговині підтверджують результат Аша. Отже, ефект не є ані американським, ані артефактом середини XX століття.

Коли люди лише бачать одне одного

Що стається з колективним судженням, коли люди лише бачать оцінки інших, без жодної вимоги погодитися і без тиску одноголосної більшості?

Лоренц, Раухут, Швайцер і Гельбінґ у 2011 році посадили 144 учасників, студентів ETH Zürich, в окремі кабінки і поставили шість фактичних запитань із п’ятьма відповідями на кожне. Частина учасників бачила оцінки інших після кожного раунду. Частина їх не бачила. Результат сформульовано прямо: «знання про оцінки інших звужує різноманітність думок настільки, що підриває мудрість натовпу трьома способами». Різноманітність здогадів зменшувалася «без покращення колективної помилки», істина зміщувалася на «периферійні ділянки діапазону оцінок», а впевненість учасників після зближення відповідей зростала. Іншими словами, люди ставали більш схожими один на одного у своїх помилках і більш переконаними у власній правоті.

Лоренц з колегами виміряли, як спосіб поєднання відповідей змінює результат: просте середнє перевершувало перший індивідуальний здогад лише в 21,3 відсотка випадків, а середнє за логарифмічною шкалою перевершувало його в 77,1 відсотка випадків.

Інший вимір того самого явища дає ринок, на якому покупці бачать вибір попередників. Салганік, Доддс і Воттс у 2006 році запросили 14 341 учасника, набраних переважно з підліткового вебсайту. Кожен учасник завантажував невідомі пісні в одному з дев’яти паралельних світів. У восьми з них учасник бачив, скільки разів кожну пісню завантажили попередні покупці в його світі. В одному світі такої інформації не було. Результат: «Посилення соціального впливу збільшувало як нерівність, так і непередбачуваність успіху». У всіх восьми світах із впливом успіх був більш нерівним, ніж у незалежному світі. Самі автори підсумовують: «Найкращі пісні рідко провалювалися, найгірші рідко ставали хітами, але будь-який інший результат був можливим». Популярність живила сама себе, і те, що в одному світі ставало хітом, в іншому могло залишитися непоміченим.

У 2015 році Бакші, Мессінґ і Адамік проаналізували 10,1 мільйона користувачів Facebook у США. За висновком авторів, «порівняно з алгоритмічним ранжуванням, індивідуальний вибір відігравав сильнішу роль в обмеженні контакту з контентом іншої сторони». Ранжування стрічки знижувало ймовірність побачити такий контент на 5 відсотків для консерваторів і на 8 відсотків для лібералів; власні кліки людей знижували цю ймовірність на 17 і 6 відсотків відповідно.

Консенсус, який упав, і консенсус, який тримали силою

Історія знає випадки, коли спостереження або експеримент стояли проти погляду свого часу, і один випадок, коли погляд насадили силою. Кожен із цих випадків дає змогу прочитати зіткнення через дві названі раніше умови: незалежність судження і компетентність вищу за половину.

Галілео Галілей першим повідомив про телескопічні спостереження фаз Венери, супутників Юпітера та гір на Місяці. У червні 1633 року його визнали винним у «сильній підозрі в єресі» й засудили до ув’язнення, заміненого на довічний домашній арешт. Вирок спирався винятково на авторитет, і жодне спостереження, яке міг би повторити будь-хто, не відіграло в ньому ролі, тому ті, хто з ним погоджувався, судили під цим авторитетом, а перша умова була відсутня.

У 1887 році Альберт Майкельсон і Едвард Морлі опублікували результат, якого не шукали. Вони збудували інтерферометр, щоб виміряти рух Землі крізь ефір, тобто гіпотетичне середовище, в якому, як тоді вважали, поширюється світло. Зсув інтерференційних смуг, який мав би показати цей рух, виявився «безперечно меншим за двадцяту частину» очікуваного і «ймовірно меншим за сорокову частину». Швидкість Землі відносно ефіру становила «ймовірно менше однієї шостої орбітальної швидкості Землі й безперечно менше однієї четвертої». Середовище було спільним припущенням доби, і один вимір переважив кількість тих, хто його поділяв; компетентність спиралася на це припущення, а вимір вирішив усе сам.

У 1864 році Луї Пастер прочитав лекцію, в якій підбив підсумок серії експериментів із самозародженням, тобто доктриною, що життя може виникати з неживої матерії. Його вирок був категоричним: «Ніколи доктрина самозародження не оговтається від смертельного удару цього простого експерименту». Справу вирішив один експеримент, який можна було повторити, і кількість тих, хто тримався доктрини, не увійшла в цей вирок жодним чином.

Четвертий випадок є іншим за природою: тут консенсус насадили силою. Микола Вавилов заснував Всесоюзну академію сільськогосподарських наук імені Леніна у 1929 році й очолив її. У 1935 році його усунули з посади, і його місце зайняв Трохим Лисенко. Вавилов помер у в’язниці. У серпні 1948 року на сесії академії генетику «повністю розгромили», а державна влада «заборонила дослідження» в цій галузі. В Інституті рослинництва щонайменше десять провідних дослідників були заарештовані й розстріляні або загинули у в’язниці, дванадцятеро провели роки в ув’язненні чи на засланні. У 1955 році понад триста науковців підписали лист проти Лисенка. Але Хрущов «також підтримував Лисенка», і генетика повернулася до навчальних програм лише після усунення Хрущова від влади в 1964 році. Консенсус, утримуваний силою, прямо знищує першу умову, а лист понад трьох сотень науковців є незалежним судженням, яке повернулося раніше, ніж держава його дозволила.

Більшість у ціні

Ціна на біржі є ще одним записом думки більшості, у грошах замість слів. Коли ціна зростає, більшість грошей на ринку голосує за те, що актив коштує дорожче. Історія зберегла три відомі епізоди, і масштаб кожного з них показують цифри.

Епізод з тюльпанами в Голландії XVII століття економіст Пітер Ґарбер у 1990 році переглянув. Цибулина Semper Augustus коштувала 2000 гульденів ще в 1625 році, за десятиліття до відомої зими. Твердження, яке Ґарбер розглядає, каже, що в лютому 1637 року цибулини «не можна було продати й за 10 відсотків їхньої пікової вартості». Сам Ґарбер оцінює, що падіння «могло становити не більше 16 відсотків». Він також зауважує, що рух цін на цибулини був «типовим для будь-якого ринку рідкісних цибулин». Ґарбер не заперечує самого краху, але обмежує його розмір тим, що видно з цінових записів.

За даними Пітера Ґарбера, акції Компанії Південних морів коштували близько 120 фунтів у січні 1720 року, близько 775 фунтів 31 серпня і близько 290 фунтів 1 жовтня. Пік у 6,46 раза перевищував початкову ціну. Падіння становило 62,6 відсотка. Якщо прийняти початкову ціну за 100, індекс сягнув 646 і впав до 242.

Індекс NASDAQ Composite, який публікує Федеральний резервний банк Сент-Луїса, на початку 1995 року становив 743,58 пункту. 10 березня 2000 року він досяг 5048,62, тобто в 6,79 раза вище за стартове значення. 9 жовтня 2002 року індекс опустився до 1114,11, тобто падіння на 77,9 відсотка. У перерахунку на індекс зі стартом 100 це 679 на піку й 150 на дні.

На рис. 4 порівняно два біржові індекси: Компанії Південних морів 1720 року та NASDAQ Composite 1995–2002 років, обидва з початковим значенням 100. Видно, що обидва злітають більш ніж у шість разів (646 і 679 на піку) і обидва падають до 242 і 150 відповідно.

Чому ж обізнані трейдери не зупиняють бульбашку? Маркус Брунермаєр у огляді для «Нового Палґрейвського словника економіки» формулює це як проблему синхронізації: «один трейдер зазвичай не може сам обвалити ринок; потрібна координація між раціональними трейдерами, і виникає проблема синхронізації».

Що з цього випливає, і межі виміряного

Дані, розглянуті в цьому дослідженні, дають змогу сформулювати умови, за яких думка більшості є доказом, а не лише статистикою про саму більшість.

По-перше, незалежність. На ярмарку Гальтона кожен відвідувач записував свій здогад на квитку, не бачачи здогадів інших. У кімнаті Аша незалежність зникла: піддослідний чув відповіді одноголосної більшості й поступався їй. Кабінки Лоренца показали той самий ефект без тиску, лише від споглядання чужих оцінок, а ринок пісень показав його у ситуації, де соціальний вплив посилював нерівність і непередбачуваність успіху.

По-друге, компетентність тих, хто судить, перевищує половину. Теорема Кондорсе доводить це математично: якщо ймовірність правильної відповіді кожного нижча за половину, більша група помиляється частіше, ніж менша.

Третє, що випливає з даних, стосується поведінки того, хто стоїть перед більшістю. Вимірювання Аша показують: коли людина записує своє судження наодинці, помилки практично відсутні. Коли в кімнаті з одноголосною більшістю з’являється бодай один союзник, поступка різко падає. Коли за правильність платять, помилки знижуються.

Межі цього дослідження визначені тим, що саме було виміряне, а що ні.

• Учасниками Аша були студенти-чоловіки; учасниками повтору 2023 року стали люди, набрані в кампусі Бернського університету. Результати не охоплюють інших демографічних груп, хоча дослідження в Японії та Боснії і Герцеговині підтверджують основний ефект.
• Учасниками Лоренца були студенти ETH Zürich; учасниками Салганіка стали відвідувачі переважно підліткового вебсайту. Висновки про вплив видимості чужих оцінок стосуються цих вибірок.
• Дані Бакші з колегами охоплюють одну платформу, Facebook, і один період.
• Теорема Кондорсе є математичною моделлю з припущеннями про незалежність і компетентність; реальні групи порушують ці припущення різною мірою.
• Чотири історичні випадки вибрано для ілюстрації; жоден набір даних не вимірює загальну частку консенсусів, які згодом виявилися помилковими.
• Оцінка Ґарбера про падіння цін на тюльпани «не більше ніж на 16 відсотків» є верхньою межею, яку він виводить із цінових записів.
• У всіх розглянутих випадках ішлося про твердження, для яких існує вимірюваний факт: вага вола, довжина лінії, фази Венери, інтерференційні смуги, біржова ціна. Для питань смаку, цінностей і права такого виміряного факту в цьому дослідженні немає.

Гальтон показав, що незалежний натовп може бути разюче точним. Аш показав, що натовп втрачає цю точність, щойно його члени починають чути одне одного. Лоренц показав, що для цього навіть не потрібен тиск: досить самого знання про чужі відповіді. Середнє незалежних здогадів Гальтона дало нульову помилку.